Solve for: sqrt(2^x)

Expression: ${\log_{ 10 }({ 7 })}^{2}-{\log_{ 10 }({ 4 })}^{2}=\left( \log_{ 10 }({ x })-1 \right) \times \log_{ 10 }({ 7 })\log_{ 7 }({ \frac{ 7 }{ 4 } })$

Determine the defined range

$\begin{array} { l }{\log_{ 10 }({ 7 })}^{2}-{\log_{ 10 }({ 4 })}^{2}=\left( \log_{ 10 }({ x })-1 \right) \times \log_{ 10 }({ 7 })\log_{ 7 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }),& x > 0\end{array}$

Distribute $\log_{ 10 }({ 7 })\log_{ 7 }({ \frac{ 7 }{ 4 } })$ through the parentheses

${\log_{ 10 }({ 7 })}^{2}-{\log_{ 10 }({ 4 })}^{2}=\log_{ 10 }({ 7 })\log_{ 7 }({ \frac{ 7 }{ 4 } })\log_{ 10 }({ x })-\log_{ 10 }({ 7 })\log_{ 7 }({ \frac{ 7 }{ 4 } })$

Move the expression to the left-hand side and change its sign

${\log_{ 10 }({ 7 })}^{2}-{\log_{ 10 }({ 4 })}^{2}-\log_{ 10 }({ 7 })\log_{ 7 }({ \frac{ 7 }{ 4 } })\log_{ 10 }({ x })=-\log_{ 10 }({ 7 })\log_{ 7 }({ \frac{ 7 }{ 4 } })$

Move the constants to the right-hand side and change their signs

$-\log_{ 10 }({ 7 })\log_{ 7 }({ \frac{ 7 }{ 4 } })\log_{ 10 }({ x })=-\log_{ 10 }({ 7 })\log_{ 7 }({ \frac{ 7 }{ 4 } })-{\log_{ 10 }({ 7 })}^{2}+{\log_{ 10 }({ 4 })}^{2}$

Divide both sides of the equation by $-\log_{ 10 }({ 7 })\log_{ 7 }({ \frac{ 7 }{ 4 } })$

$\log_{ 10 }({ x })=1+\frac{ \log_{ 10 }({ 7 }) }{ \log_{ 7 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }-\frac{ {\log_{ 10 }({ 4 })}^{2} }{ \log_{ 10 }({ 7 })\log_{ 7 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }$

Use $\log_{ a }({ \frac{ x }{ y } })=\log_{ a }({ x })-\log_{ a }({ y })$ to expand the expression

$\log_{ 10 }({ x })=1+\frac{ \log_{ 10 }({ 7 }) }{ \log_{ 7 }({ 7 })-\log_{ 7 }({ 4 }) }-\frac{ {\log_{ 10 }({ 4 })}^{2} }{ \log_{ 10 }({ 7 })\log_{ 7 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }$

Write the number in exponential form with the base of $2$

$\log_{ 10 }({ x })=1+\frac{ \log_{ 10 }({ 7 }) }{ \log_{ 7 }({ 7 })-\log_{ 7 }({ 4 }) }-\frac{ {\log_{ 10 }({ {2}^{2} })}^{2} }{ \log_{ 10 }({ 7 })\log_{ 7 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }$

Use $\log_{ a }({ x })=\frac{ \log_{ b }({ x }) }{ \log_{ b }({ a }) }$ to change the base of the logarithm

$\log_{ 10 }({ x })=1+\frac{ \log_{ 10 }({ 7 }) }{ \log_{ 7 }({ 7 })-\log_{ 7 }({ 4 }) }-\frac{ {\log_{ 10 }({ {2}^{2} })}^{2} }{ \log_{ 10 }({ 7 }) \times \frac{ \log_{ 10 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }{ \log_{ 10 }({ 7 }) } }$

Cancel out the common factor $\log_{ 10 }({ 7 })$

$\log_{ 10 }({ x })=1+\frac{ \log_{ 10 }({ 7 }) }{ \log_{ 7 }({ 7 })-\log_{ 7 }({ 4 }) }-\frac{ {\log_{ 10 }({ {2}^{2} })}^{2} }{ \log_{ 10 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }$

Use $\log_{ a }({ {b}^{c} })=c \times \log_{ a }({ b })$ to transform the expression

$\log_{ 10 }({ x })=1+\frac{ \log_{ 10 }({ 7 }) }{ \log_{ 7 }({ 7 })-\log_{ 7 }({ 4 }) }-\frac{ {\left( 2\log_{ 10 }({ 2 }) \right)}^{2} }{ \log_{ 10 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }$

A logarithm with the same base and argument equals $1$

$\log_{ 10 }({ x })=1+\frac{ \log_{ 10 }({ 7 }) }{ 1-\log_{ 7 }({ 4 }) }-\frac{ {\left( 2\log_{ 10 }({ 2 }) \right)}^{2} }{ \log_{ 10 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }$

Write the number in exponential form with the base of $2$

$\log_{ 10 }({ x })=1+\frac{ \log_{ 10 }({ 7 }) }{ 1-\log_{ 7 }({ {2}^{2} }) }-\frac{ {\left( 2\log_{ 10 }({ 2 }) \right)}^{2} }{ \log_{ 10 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }$

Use $\log_{ a }({ {b}^{c} })=c \times \log_{ a }({ b })$ to transform the expression

$\log_{ 10 }({ x })=1+\frac{ \log_{ 10 }({ 7 }) }{ 1-2\log_{ 7 }({ 2 }) }-\frac{ {\left( 2\log_{ 10 }({ 2 }) \right)}^{2} }{ \log_{ 10 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }$

To raise a product to a power, raise each factor to that power

$\log_{ 10 }({ x })=1+\frac{ \log_{ 10 }({ 7 }) }{ 1-2\log_{ 7 }({ 2 }) }-\frac{ 4{\log_{ 10 }({ 2 })}^{2} }{ \log_{ 10 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }$

Convert the logarithm into exponential form using the fact that $\log_{ a }({ x })=b$ is equal to $x={a}^{b}$

$x={10}^{1+\frac{ \log_{ 10 }({ 7 }) }{ 1-2\log_{ 7 }({ 2 }) }-\frac{ 4{\log_{ 10 }({ 2 })}^{2} }{ \log_{ 10 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }}$

Use ${a}^{m+n}={a}^{m} \times {a}^{n}$ to expand the expression

$x={10}^{1} \times {10}^{\frac{ \log_{ 10 }({ 7 }) }{ 1-2\log_{ 7 }({ 2 }) }} \times {10}^{-\frac{ 4{\log_{ 10 }({ 2 })}^{2} }{ \log_{ 10 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }}$

Any expression raised to the power of $1$ equals itself

$x=10 \times {10}^{\frac{ \log_{ 10 }({ 7 }) }{ 1-2\log_{ 7 }({ 2 }) }} \times {10}^{-\frac{ 4{\log_{ 10 }({ 2 })}^{2} }{ \log_{ 10 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }}$

Write the expression as a product with the factor $\frac{ 1 }{ 1-2\log_{ 7 }({ 2 }) }$

$x=10 \times {10}^{\frac{ 1 }{ 1-2\log_{ 7 }({ 2 }) } \times \log_{ 10 }({ 7 })} \times {10}^{-\frac{ 4{\log_{ 10 }({ 2 })}^{2} }{ \log_{ 10 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }}$

Use $x \times \log_{ a }({ b })=\log_{ a }({ {b}^{x} })$ to transform the expression

$x=10 \times {10}^{\log_{ 10 }({ {7}^{\frac{ 1 }{ 1-2\log_{ 7 }({ 2 }) }} })} \times {10}^{-\frac{ 4{\log_{ 10 }({ 2 })}^{2} }{ \log_{ 10 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }}$

Use ${a}^{\log_{ a }({ b })}=b$ to simplify the expression

$x=10 \times {7}^{\frac{ 1 }{ 1-2\log_{ 7 }({ 2 }) }} \times {10}^{-\frac{ 4{\log_{ 10 }({ 2 })}^{2} }{ \log_{ 10 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }}$

Calculate the product

$\begin{array} { l }x={10}^{1-\frac{ 4{\log_{ 10 }({ 2 })}^{2} }{ \log_{ 10 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }} \times {7}^{\frac{ 1 }{ 1-2\log_{ 7 }({ 2 }) }},& x > 0\end{array}$

Check if the solution is in the defined range

$\begin{align*}&x={10}^{1-\frac{ 4{\log_{ 10 }({ 2 })}^{2} }{ \log_{ 10 }({ \frac{ 7 }{ 4 } }) }} \times {7}^{\frac{ 1 }{ 1-2\log_{ 7 }({ 2 }) }} \\&x\approx280\end{align*}$