Solve for: x^4=-16i

Expression: ${x}^{4}=-16i$

Take the root of both sides of the equation

$x=\sqrt[4]{-16i}$

Write the complex number in polar form

$x=\sqrt[4]{16\left( \cos\left({\frac{ 3π }{ 2 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 3π }{ 2 }}\right) \right)}$

Calculate the $n$th roots of a complex number $r\left( \cos\left({θ}\right)+i \times \sin\left({θ}\right) \right)$, using $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left( \cos\left({\frac{ θ+2kπ }{ n }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ θ+2kπ }{ n }}\right) \right)$, where $\begin{array} { l }k=0,& 1,& …,& n-1\end{array}$

$x=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2kπ }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2kπ }{ 4 }}\right) \right)$

Since $n=4$, substitute $k=\begin{array} { l }0,& 1,& 2,& 3\end{array}$ into the expression

$\begin{array} { l }x_1=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 0π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 0π }{ 4 }}\right) \right),\\x_2=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 1π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 1π }{ 4 }}\right) \right),\\x_3=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right) \right),\\x_4=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right) \right)\end{array}$

Evaluate the root

$\begin{array} { l }x_1=2\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 0π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 0π }{ 4 }}\right) \right),\\x_2=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 1π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 1π }{ 4 }}\right) \right),\\x_3=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right) \right),\\x_4=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right) \right)\end{array}$

Simplify the expression

$\begin{array} { l }x_1=2\left( \cos\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 0π }{ 4 }}\right) \right),\\x_2=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 1π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 1π }{ 4 }}\right) \right),\\x_3=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right) \right),\\x_4=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right) \right)\end{array}$

Simplify the expression

$\begin{array} { l }x_1=2\left( \cos\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right) \right),\\x_2=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 1π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 1π }{ 4 }}\right) \right),\\x_3=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right) \right),\\x_4=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right) \right)\end{array}$

Evaluate the root

$\begin{array} { l }x_1=2\left( \cos\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right) \right),\\x_2=2\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 1π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 1π }{ 4 }}\right) \right),\\x_3=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right) \right),\\x_4=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right) \right)\end{array}$

Simplify the expression

$\begin{array} { l }x_1=2\left( \cos\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right) \right),\\x_2=2\left( \cos\left({\frac{ 7π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 1π }{ 4 }}\right) \right),\\x_3=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right) \right),\\x_4=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right) \right)\end{array}$

Simplify the expression

$\begin{array} { l }x_1=2\left( \cos\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right) \right),\\x_2=2\left( \cos\left({\frac{ 7π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 7π }{ 8 }}\right) \right),\\x_3=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right) \right),\\x_4=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right) \right)\end{array}$

Evaluate the root

$\begin{array} { l }x_1=2\left( \cos\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right) \right),\\x_2=2\left( \cos\left({\frac{ 7π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 7π }{ 8 }}\right) \right),\\x_3=2\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right) \right),\\x_4=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right) \right)\end{array}$

Simplify the expression

$\begin{array} { l }x_1=2\left( \cos\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right) \right),\\x_2=2\left( \cos\left({\frac{ 7π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 7π }{ 8 }}\right) \right),\\x_3=2\left( \cos\left({\frac{ 11π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 2π }{ 4 }}\right) \right),\\x_4=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right) \right)\end{array}$

Simplify the expression

$\begin{array} { l }x_1=2\left( \cos\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right) \right),\\x_2=2\left( \cos\left({\frac{ 7π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 7π }{ 8 }}\right) \right),\\x_3=2\left( \cos\left({\frac{ 11π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 11π }{ 8 }}\right) \right),\\x_4=\sqrt[4]{16}\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right) \right)\end{array}$

Evaluate the root

$\begin{array} { l }x_1=2\left( \cos\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right) \right),\\x_2=2\left( \cos\left({\frac{ 7π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 7π }{ 8 }}\right) \right),\\x_3=2\left( \cos\left({\frac{ 11π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 11π }{ 8 }}\right) \right),\\x_4=2\left( \cos\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right) \right)\end{array}$

Simplify the expression

$\begin{array} { l }x_1=2\left( \cos\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right) \right),\\x_2=2\left( \cos\left({\frac{ 7π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 7π }{ 8 }}\right) \right),\\x_3=2\left( \cos\left({\frac{ 11π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 11π }{ 8 }}\right) \right),\\x_4=2\left( \cos\left({\frac{ 15π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ \frac{ 3π }{ 2 }+2 \times 3π }{ 4 }}\right) \right)\end{array}$

Simplify the expression

$\begin{align*}&\begin{array} { l }x_1=2\left( \cos\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 3π }{ 8 }}\right) \right),\\x_2=2\left( \cos\left({\frac{ 7π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 7π }{ 8 }}\right) \right),\\x_3=2\left( \cos\left({\frac{ 11π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 11π }{ 8 }}\right) \right),\\x_4=2\left( \cos\left({\frac{ 15π }{ 8 }}\right)+i \times \sin\left({\frac{ 15π }{ 8 }}\right) \right)\end{array} \\&\begin{array} { l }x_1\approx0.7654+1.8478i,\\x_2\approx-1.8478+0.7654i,\\x_3\approx-0.7654-1.8478i,\\x_4\approx1.8478-0.7654i\end{array}\end{align*}$